Derivações das transformações de Lorentz

Existem muitas maneiras de derivar as transformações de Lorentz usando uma variedade de princípios físicos, desde as equações de Maxwell até os postulados da relatividade restrita de Einstein, e ferramentas matemáticas, abrangendo desde a álgebra elementar e funções hiperbólicas até a álgebra linear e a teoria dos grupos. Este artigo fornece algumas das mais fáceis de seguir no contexto da relatividade restrita, para o caso mais simples de um boost de Lorentz na configuração padrão, ou seja, dois referenciais inerciais movendo-se relativamente um ao outro com velocidade relativa constante (uniforme) menor que a velocidade da luz, e usando coordenadas cartesianas de modo que os eixos x e x′ sejam colineares.

Transformação de Lorentz

Nos ramos fundamentais da física moderna, nomeadamente a relatividade geral e seu subconjunto amplamente aplicável a relatividade restrita, bem como a mecânica quântica relativística e a teoria quântica de campos relativística, a transformação de Lorentz é a regra de transformação sob a qual todos os quadrivetores e tensores contendo grandezas físicas transformam de um referencial para outro. Os principais exemplos de tais quadrivetores são a quadriposição e o quadrimomento de uma partícula, e para campos o tensor eletromagnético e o tensor energia-momento. O fato de que esses objetos se transformam de acordo com a transformação de Lorentz é o que matematicamente os define como vetores e tensores; veja tensor para uma definição. Dadas as componentes dos quadrivetores ou tensores em algum referencial, a "regra de transformação" permite determinar as componentes alteradas dos mesmos quadrivetores ou tensores em outro referencial, que pode ser impulsionado ou acelerado, em relação ao referencial original. Um "boost" não deve ser confundido com translação espacial, mas sim é caracterizado pela velocidade relativa entre os referenciais. A própria regra de transformação depende do movimento relativo dos referenciais. No caso mais simples de dois referenciais inerciais, a velocidade relativa entre eles entra na regra de transformação. Para referenciais rotativos ou referenciais não inerciais gerais, mais parâmetros são necessários, incluindo a velocidade relativa (magnitude e direção), o eixo de rotação e o ângulo girado.

Antecedentes históricos

O tratamento usual (por exemplo, o trabalho original de Albert Einstein) é baseado na invariância da velocidade da luz. No entanto, este não é necessariamente o ponto de partida: de fato (como é descrito, por exemplo, no segundo volume do Curso de Física Teórica de Landau e Lifshitz), o que está realmente em jogo é a localidade das interações: supõe-se que a influência que uma partícula exerce sobre outra não pode ser transmitida instantaneamente. Assim, existe uma velocidade máxima teórica de transmissão de informação que deve ser invariante, e verifica-se que esta velocidade coincide com a velocidade da luz no vácuo. O próprio Newton considerou a ideia da ação à distância filosoficamente "absurda" e sustentou que a gravidade teria que ser transmitida por algum agente de acordo com certas leis. Michelson e Morley em 1887 projetaram um experimento, empregando um interferômetro e um espelho semiprateado, que era suficientemente preciso para detectar o fluxo do éter. O sistema de espelhos refletia a luz de volta para o interferômetro. Se houvesse um arrastamento do éter, isso produziria um deslocamento de fase e uma mudança na interferência que seria detectada. No entanto, nenhum deslocamento de fase foi encontrado. O resultado negativo do experimento de Michelson-Morley deixou o conceito de éter (ou seu arrastamento) enfraquecido. Houve consequente perplexidade quanto ao porquê a luz evidentemente se comporta como uma onda, sem qualquer meio detectável através do qual a atividade ondulatória pudesse se propagar. Em um artigo de 1964, Erik Christopher Zeeman mostrou que a propriedade de preservação da causalidade, uma condição mais fraca em um sentido matemático do que a invariância da velocidade da luz, é suficiente para garantir que as transformações de coordenadas são as transformações de Lorentz. O artigo de Norman Goldstein mostra um resultado semelhante usando inercialidade (a preservação de linhas temporais) em vez de causalidade.

Princípios físicos Einstein baseou sua teoria da relatividade restrita em dois postulados fundamentais. Primeiro, todas as leis físicas são as mesmas para todos os referenciais inerciais, independentemente de seu estado de movimento relativo; e segundo, a velocidade da luz no espaço livre é a mesma em todos os referenciais inerciais, novamente, independentemente da velocidade relativa de cada referencial. A transformação de Lorentz é fundamentalmente uma consequência direta deste segundo postulado.

O segundo postulado Assuma o segundo postulado da relatividade restrita afirmando a constância da velocidade da luz, independente do referencial, e considere uma coleção de sistemas de referência movendo-se uns em relação aos outros com velocidade constante, ou seja, sistemas inerciais, cada um dotado de seu próprio conjunto de coordenadas cartesianas rotulando os pontos, ou seja, eventos do espaçotempo. Para expressar a invariância da velocidade da luz em forma matemática, fixe dois eventos no espaçotempo, a serem registrados em cada referencial. Seja o primeiro evento a emissão de um sinal de luz, e o segundo evento sua absorção. Escolha qualquer referencial na coleção. Em suas coordenadas, ao primeiro evento serão atribuídas coordenadas

x

1

,

y

1

,

z

1

, c

t

1

{\displaystyle x_{1},y_{1},z_{1},ct_{1}}

, e ao segundo

x

2

,

y

2

,

z

2

, c

t

2

{\displaystyle x_{2},y_{2},z_{2},ct_{2}}

. A distância espacial entre emissão e absorção é

(

x

2

−

x

1

)

2

+ (

y

2

−

y

1

)

2

+ (

z

2

−

z

1

)

2

{\textstyle {\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}}

, mas esta é também a distância

c (

t

2

−

t

1

)

{\displaystyle c(t_{2}-t_{1})}

percorrida pelo sinal. Pode-se, portanto, estabelecer a equação

c

2

(

t

2

−

t

1

)

2

− (

x

2

−

x

1

)

2

− (

y

2

−

y

1

)

2

− (

z

2

−

z

1

)

2

= 0.

{\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0.}

Todo outro sistema de coordenadas registrará, em suas próprias coordenadas, a mesma equação. Esta é a consequência matemática imediata da invariância da velocidade da luz. A quantidade à esquerda é chamada de intervalo espaçotemporal. O intervalo é, para eventos separados por sinais de luz, o mesmo (zero) em todos os referenciais e, portanto, é chamado de invariante.

Invariância do intervalo Para que a transformação de Lorentz tenha o significado físico realizado pela natureza, é crucial que o intervalo seja uma quantidade invariante para quaisquer dois eventos, não apenas para aqueles separados por sinais de luz. Para estabelecer isso, considera-se um intervalo infinitesimal,

d

s

2

=

c

2

d

t

2

− d

x

2

− d

y

2

− d

z

2

,

{\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2},}

como registrado em um sistema

K

{\displaystyle K}

. Seja

K ′

{\displaystyle K'}

outro sistema atribuindo o intervalo

d

s

′

2

{\displaystyle ds'^{2}}

aos mesmos dois eventos infinitesimalmente separados. Uma vez que se

d

s

2

= 0

{\displaystyle ds^{2}=0}

, então o intervalo também será zero em qualquer outro sistema (segundo postulado), e como

d

s

2

{\displaystyle ds^{2}}

e

d

s

′

2

{\displaystyle ds'^{2}}

são infinitesimais da mesma ordem, eles devem ser proporcionais entre si,

d

s

2

= a d

s

′

2

.

{\displaystyle ds^{2}=ads'^{2}.}

De que pode

a

{\displaystyle a}

depender? Não pode depender das posições dos dois eventos no espaçotempo, pois isso violaria a postulada homogeneidade do espaçotempo. Pode depender da velocidade relativa

V ′

{\displaystyle V'}

entre

K

{\displaystyle K}

e

K ′

{\displaystyle K'}

, mas apenas da rapidez, não da direção, pois o último violaria a isotropia do espaço. Agora traga os sistemas

K

1

{\displaystyle K_{1}}

e

K

2

{\displaystyle K_{2}}

,

d

s

2

= a (

V

1

) d

s

1

2

,

d

s

2

= a (

V

2

) d

s

2

2

,

d

s

1

2

= a (

V

12

) d

s

2

2

.

{\displaystyle ds^{2}=a(V_{1})ds_{1}^{2},\quad ds^{2}=a(V_{2})ds_{2}^{2},\quad ds_{1}^{2}=a(V_{12})ds_{2}^{2}.}

Disto segue,

a (

V

2

)

a (

V

1

)

= a (

V

12

) .

{\displaystyle {\frac {a(V_{2})}{a(V_{1})}}=a(V_{12}).}

Agora, observa-se que no lado direito

V

12

{\displaystyle V_{12}}

depende tanto de

V

1

{\displaystyle V_{1}}

quanto de

V

2

{\displaystyle V_{2}}

; bem como do ângulo entre os vetores

V

1

{\displaystyle {\textbf {V}}_{1}}

e

V

2

{\displaystyle {\textbf {V}}_{2}}

. No entanto, também se observa que o lado esquerdo não depende deste ângulo. Assim, a única maneira da equação ser verdadeira é se a função

a ( V )

{\displaystyle a(V)}

é uma constante. Além disso, pela mesma equação, esta constante é unitária. Portanto,

d

s

2

= d

s

′

2

{\displaystyle ds^{2}=ds'^{2}}

para todos os sistemas

K ′

{\displaystyle K'}

. Como isso vale para todos os intervalos infinitesimais, vale para todos os intervalos. A maioria, senão todas, as derivações das transformações de Lorentz tomam isso como garantido. Nessas derivações, eles usam apenas a constância da velocidade da luz (invariância de eventos separados tipo luz). Este resultado garante que a transformação de Lorentz é a transformação correta.

Enunciado rigoroso e prova da proporcionalidade de ds2 e ds′2 Teorema: Sejam

n , p ≥ 1

{\displaystyle n,p\geq 1}

inteiros,

d := n + p

{\displaystyle d:=n+p}

e

V

{\displaystyle V}

um espaço vetorial sobre

R

{\displaystyle \mathbb {R} }

de dimensão

d

{\displaystyle d}

. Seja

h

{\displaystyle h}

um produto interno indefinido em

V

{\displaystyle V}

com assinatura tipo

( n , p )

{\displaystyle (n,p)}

. Suponha que

g

{\displaystyle g}

é uma forma bilinear simétrica em

V

{\displaystyle V}

tal que o conjunto nulo da forma quadrática associada de

h

{\displaystyle h}

está contido no de

g

{\displaystyle g}

(isto é, suponha que para todo

v ∈ V

{\displaystyle v\in V}

, se

h ( v , v ) = 0

{\displaystyle h(v,v)=0}

então

g ( v , v ) = 0

{\displaystyle g(v,v)=0}

). Então, existe uma constante

C ∈

R

{\displaystyle C\in \mathbb {R} }

tal que

g = C h

{\displaystyle g=Ch}

. Além disso, se assumirmos

n ≠ p

{\displaystyle n\neq p}

e que

g

{\displaystyle g}

também tem assinatura tipo

( n , p )

{\displaystyle (n,p)}

, então temos

C > 0

{\displaystyle C>0}

.

Configuração padrão

O intervalo invariante pode ser visto como uma função distância não positiva definida no espaçotempo. O conjunto de transformações procuradas deve deixar esta distância invariante. Devido à natureza cartesiana do sistema de coordenadas do referencial, conclui-se que, como no caso euclidiano, as transformações possíveis são compostas por translações e rotações, onde um significado ligeiramente mais amplo deve ser permitido para o termo rotação. O intervalo é trivialmente invariante sob translação. Para rotações, existem quatro coordenadas. Portanto, há seis planos de rotação. Três deles são rotações em planos espaciais. O intervalo também é invariante sob rotações comuns. Resta encontrar uma "rotação" nos três planos de coordenadas restantes que deixe o intervalo invariante. Equivalentemente, encontrar uma maneira de atribuir coordenadas de modo que coincidam com as coordenadas correspondentes a um referencial em movimento. O problema geral é encontrar uma transformação tal que

c

2

(

t

2

−

t

1

)

2

− (

x

2

−

x

1

)

2

− (

y

2

−

y

1

)

2

− (

z

2

−

z

1

)

2

=

c

2

(

t

2

′

−

t

1

′

)

2

− (

x

2

′

−

x

1

′

)

2

− (

y

2

′

−

y

1

′

)

2

− (

z

2

′

−

z

1

′

)

2

.

{\displaystyle {\begin{aligned}&c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}\\={}&c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}'-z_{1}')^{2}.\end{aligned}}}

Para resolver o problema geral, pode-se usar o conhecimento sobre a invariância do intervalo de translações e rotações comuns para assumir, sem perda de generalidade, que os referenciais F e F′ estão alinhados de tal forma que seus eixos coordenados se encontram em t = t′ = 0 e que os eixos x e x′ estão permanentemente alinhados e o sistema F′ tem velocidade V ao longo do semieixo x positivo. Chame isso de configuração padrão. Isso reduz o problema geral a encontrar uma transformação tal que

c

2

(

t

2

−

t

1

)

2

− (

x

2

−

x

1

)

2

=

c

2

(

t

2

′

−

t

1

′

)

2

− (

x

2

′

−

x

1

′

)

2

.

{\displaystyle c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}=c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}.}

A configuração padrão é usada na maioria dos exemplos abaixo. Uma solução linear do problema mais simples

( c t

)

2

−

x

2

= ( c

t ′

)

2

−

x

′

2

{\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=(ct')^{2}-x'^{2}}

resolve o problema mais geral, pois as diferenças de coordenadas então se transformam da mesma maneira. A linearidade é frequentemente assumida ou argumentada de alguma forma na literatura quando este problema mais simples é considerado. Se a solução para o problema mais simples não for linear, então ela não resolve o problema original por causa dos termos cruzados que aparecem ao expandir os quadrados.

As soluções Como mencionado, o problema geral é resolvido por translações no espaçotempo. Estas não aparecem como uma solução para o problema mais simples proposto, enquanto os boosts aparecem (e às vezes rotações dependendo do ângulo de ataque). Existem ainda mais soluções se apenas insistirmos na invariância do intervalo para eventos separados tipo luz. Estas são transformações conformes ("que preservam ângulos") não lineares. Tem-se

Algumas equações da física são conformemente invariantes, por exemplo, as equações de Maxwell no espaço livre de fontes, mas nem todas. A relevância das transformações conformes no espaçotempo não é conhecida atualmente, mas o grupo conforme em duas dimensões é altamente relevante na teoria conforme de campos e na mecânica estatística. É, portanto, o grupo de Poincaré que é destacado pelos postulados da relatividade restrita. É a presença de boosts de Lorentz (para os quais a adição de velocidades é diferente da mera adição vetorial que permitiria velocidades maiores que a velocidade da luz) em oposição aos boosts comuns que o separa do grupo galileano da relatividade galileana. Rotações espaciais, inversões espaciais e temporais e translações estão presentes em ambos os grupos e têm as mesmas consequências em ambas as teorias (leis de conservação de momento, energia e momento angular). Nem todas as teorias aceitas respeitam a simetria sob inversões.

Usando a geometria do espaçotempo

Solução de Landau & Lifshitz Estas três fórmulas de funções hiperbólicas (H1–H3) são referenciadas abaixo:

cosh

2

⁡ Ψ −

sinh

2

⁡ Ψ = 1 ,

{\displaystyle \cosh ^{2}\Psi -\sinh ^{2}\Psi =1,}

sinh ⁡ Ψ =

tanh ⁡ Ψ

1 −

tanh

2

⁡ Ψ

,

{\displaystyle \sinh \Psi ={\frac {\tanh \Psi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},}

cosh ⁡ Ψ =

1

1 −

tanh

2

⁡ Ψ

,

{\displaystyle \cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},}

O problema apresentado na configuração padrão para um boost na x-direção, onde as coordenadas primadas se referem ao sistema em movimento, é resolvido encontrando uma solução linear para o problema mais simples

( c t

)

2

−

x

2

= ( c

t ′

)

2

−

x

′

2

.

{\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=(ct')^{2}-x'^{2}.}

A solução mais geral é, como pode ser verificado por substituição direta usando (H1),

Para encontrar o papel de Ψ no cenário físico, registre a progressão da origem de F′, ou seja, x′ = 0, x = vt. As equações tornam-se (usando primeiro x′ = 0),

x = c

t ′

sinh ⁡ Ψ ,

c t = c

t ′

cosh ⁡ Ψ .

{\displaystyle x=ct'\sinh \Psi ,\quad ct=ct'\cosh \Psi .}

Agora divida:

x

c t

= tanh ⁡ Ψ =

v c

⇒

sinh ⁡ Ψ =

v c

1 −

v

2

c

2

,

cosh ⁡ Ψ =

1

1 −

v

2

c

2

,

{\displaystyle {\frac {x}{ct}}=\tanh \Psi ={\frac {v}{c}}\Rightarrow \quad \sinh \Psi ={\frac {\frac {v}{c}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\quad \cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}

onde x = vt foi usado no primeiro passo, (H2) e (H3) no segundo, que, quando substituídos de volta em (1), dá

x =

x ′

+ v

t ′

1 −

v

2

c

2

,

t =

t ′

+

v

c

2

x ′

1 −

v

2

c

2

,

{\displaystyle x={\frac {x'+vt'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\quad t={\frac {t'+{\frac {v}{c^{2}}}x'}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}

ou, com as abreviações usuais,

Este cálculo é repetido com mais detalhe na seção rotação hiperbólica.

Rotação hiperbólica

As transformações de Lorentz também podem ser derivadas pela simples aplicação dos postulados da relatividade restrita e usando identidades hiperbólicas.

Postulados da relatividade Comece das equações da frente de onda esférica de um pulso de luz, centrado na origem:

( c t

)

2

− (

x

2

+

y

2

+

z

2

) = ( c

t ′

)

2

− (

x

′

2

+

y

′

2

+

z

′

2

) = 0

{\displaystyle (ct)^{2}-(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ct')^{2}-(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})=0}

que assumem a mesma forma em ambos os referenciais devido aos postulados da relatividade restrita. Em seguida, considere o movimento relativo ao longo dos eixos x de cada referencial, na configuração padrão acima, de modo que y = y′, z = z′, o que simplifica para

( c t

)

2

−

x

2

= ( c

t ′

)

2

−

x

′

2

{\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=(ct')^{2}-x'^{2}}

Linearidade Agora assuma que as transformações assumem a forma linear:

x ′

= A x + B c t

c

t ′

= C x + D c t

{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=Ax+Bct\\ct'&=Cx+Dct\end{aligned}}}

onde A, B, C, D devem ser encontrados. Se fossem não lineares, não assumiriam a mesma forma para todos os observadores, uma vez que forças fictícias (portanto, acelerações) ocorreriam em um referencial mesmo se a velocidade fosse constante em outro, o que é inconsistente com transformações de referenciais inerciais. Substituindo no resultado anterior:

( c t

)

2

−

x

2

= [ ( C x

)

2

+ ( D c t

)

2

+ 2 C D c x t ] − [ ( A x

)

2

+ ( B c t

)

2

+ 2 A B c x t ]

{\displaystyle (ct)^{2}-x^{2}=[(Cx)^{2}+(Dct)^{2}+2CDcxt]-[(Ax)^{2}+(Bct)^{2}+2ABcxt]}

e comparando coeficientes de x2, t2, xt:

− 1 =

C

2

−

A

2

⇒

A

2

−

C

2

= 1

c

2

= ( D c

)

2

− ( B c

)

2

⇒

D

2

−

B

2

= 1

2 C D c − 2 A B c = 0

⇒

A B = C D

{\displaystyle {\begin{aligned}-1=C^{2}-A^{2}&\Rightarrow &A^{2}-C^{2}=1\\c^{2}=(Dc)^{2}-(Bc)^{2}&\Rightarrow &D^{2}-B^{2}=1\\2CDc-2ABc=0&\Rightarrow &AB=CD\end{aligned}}}

Rotação hiperbólica

As equações sugerem a identidade hiperbólica

cosh

2

⁡ φ −

sinh

2

⁡ φ = 1.

{\displaystyle \cosh ^{2}\phi -\sinh ^{2}\phi =1.}

Introduzindo o parâmetro de rapidez φ como um ângulo hiperbólico permite as identificações consistentes

A = D = cosh ⁡ φ

,

C = B = − sinh ⁡ φ

{\displaystyle A=D=\cosh \phi \,,\quad C=B=-\sinh \phi }

onde os sinais após as raízes quadradas são escolhidos de modo que x' e t' aumentem se x e t aumentarem, respectivamente. As transformações hiperbólicas foram resolvidas:

x ′

= x cosh ⁡ φ − c t sinh ⁡ φ

c

t ′

= − x sinh ⁡ φ + c t cosh ⁡ φ

{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=x\cosh \phi -ct\sinh \phi \\ct'&=-x\sinh \phi +ct\cosh \phi \end{aligned}}}

Se os sinais fossem escolhidos de forma diferente, as coordenadas de posição e tempo precisariam ser substituídas por −x e/ou −t para que x e t aumentassem, não diminuíssem. Para encontrar como φ se relaciona com a velocidade relativa, a partir da configuração padrão a origem do referencial primado x′ = 0 é medida no referencial não primado como x = vt (ou o equivalente e o oposto; a origem do referencial não primado é x = 0 e no referencial primado está em x′ = −vt):

0 = v t cosh ⁡ φ − c t sinh ⁡ φ

⇒

tanh ⁡ φ =

v c

= β

{\displaystyle 0=vt\cosh \phi -ct\sinh \phi \,\Rightarrow \,\tanh \phi ={\frac {v}{c}}=\beta }

e as identidades hiperbólicas

sinh ⁡ Ψ =

tanh ⁡ Ψ

1 −

tanh

2

⁡ Ψ

,

cosh ⁡ Ψ =

1

1 −

tanh

2

⁡ Ψ

{\displaystyle \sinh \Psi ={\frac {\tanh \Psi }{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}},\,\cosh \Psi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\Psi }}}}

levam às relações entre β, γ e φ,

cosh ⁡ φ = γ ,

sinh ⁡ φ = β γ

.

{\displaystyle \cosh \phi =\gamma ,\,\quad \sinh \phi =\beta \gamma \,.}

Da Causalidade e da Ordem dos Eventos Uma série de resultados nas décadas de 1960 e 1970, culminando no trabalho de A. D. Alexandrov, mostrou que as transformações de Lorentz podem ser derivadas de propriedades ainda mais fundamentais e qualitativas do espaçotempo do que a constância da velocidade da luz. Cronogeometria de A. D. Alexandrov (1950-1976): Começando em 1949 e totalmente desenvolvido ao longo de duas décadas, A. D. Alexandrov estabeleceu os resultados mais gerais nesta área. Sua abordagem, que ele chamou de "cronogeometria" (a geometria do tempo), parte da ordem causal dos eventos. Ele considerou o conjunto de todas as transformações que preservam a relação "depois de" (ou seja, se o evento A pode influenciar o evento B, então o evento transformado f(A) pode influenciar f(B)). A contribuição seminal de Alexandrov foi provar que qualquer mapeamento um-para-um do espaço de Minkowski (ou mesmo de uma região dele) sobre si mesmo que preserva a ordem causal — ou, mais fortemente, a família de cones de luz — deve ser uma transformação de Lorentz composta com uma dilatação. Seu trabalho é particularmente notável por também classificar as transformações conformes do espaçotempo (incluindo inversões) como os únicos automorfismos causais locais. Causalidade de E. C. Zeeman (1964): Em um artigo de 1964, Erik Christopher Zeeman mostrou independentemente um resultado relacionado, mas menos geral. Ele demonstrou que qualquer automorfismo do espaço de Minkowski (um mapeamento um-para-um sobre si mesmo) que preserva a relação causal — uma condição mais fraca do que a invariância da velocidade da luz em um sentido matemático — é necessariamente um elemento do grupo de Lorentz, combinado com translações e dilatações. Embora altamente influente, o teorema de Zeeman assume que o mapeamento é definido em todo o espaço, enquanto o trabalho posterior de Alexandrov estendeu os resultados para mapeamentos locais de domínios. A conclusão coletiva desses teoremas é profunda: a estrutura causal do espaçotempo, definida simplesmente por quais eventos podem influenciar quais outros, é suficiente para determinar unicamente sua geometria como sendo Minkowskiana e suas simetrias como sendo as transformações de Lorentz. Isso coloca o princípio da causalidade como um axioma mais fundamental do que a constância da velocidade da luz na estrutura lógica da relatividade restrita.

A partir de princípios físicos O problema geralmente é restrito a duas dimensões, usando uma velocidade ao longo do eixo x de modo que as coordenadas y e z não intervenham, como descrito na configuração padrão acima.

Dilatação do tempo e contração do comprimento As equações de transformação podem ser derivadas da dilatação do tempo e da contração do comprimento, que por sua vez podem ser derivadas de primeiros princípios. Com O e O′ representando as origens espaciais dos referenciais F e F′, e algum evento M, a relação entre os vetores posição (que aqui se reduzem a segmentos orientados OM, OO′ e O′M) em ambos os referenciais é dada por: Usando coordenadas (x,t) em F e (x′,t′) em F′ para o evento M, no referencial F os segmentos são OM = x, OO′ = vt e O′M = x′/γ (já que x′ é O′M medido em F′):

x = v t +

x ′

/

γ .

{\displaystyle x=vt+x'/\gamma .}

Da mesma forma, no referencial F′, os segmentos são OM = x/γ (já que x é OM medido em F), OO′ = vt′ e O′M = x′:

x

/

γ = v

t ′

+

x ′

.

{\displaystyle x/\gamma =vt'+x'.}

Reorganizando a primeira equação, obtemos

x ′

= γ ( x − v t ) ,

{\displaystyle x'=\gamma (x-vt),}

que é a parte espacial da transformação de Lorentz. A segunda relação dá

x = γ (

x ′

+ v

t ′

) ,

{\displaystyle x=\gamma (x'+vt'),}

que é a inversa da parte espacial. Eliminando x′ entre as duas equações da parte espacial, obtemos

t ′

= γ t +

(

1 −

γ

2

)

x

γ v

.

{\displaystyle t'=\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}.}

que, se

γ

2

=

1

1 −

v

2

/

c

2

{\displaystyle \gamma ^{2}={\frac {1}{1-v^{2}/c^{2}}}}

, simplifica para:

t ′

= γ ( t − v x

/

c

2

) ,

{\displaystyle t'=\gamma (t-vx/c^{2}),}

que é a parte temporal da transformação, cuja inversa é encontrada por uma eliminação semelhante de x:

t = γ (

t ′

+ v

x ′

/

c

2

) .

{\displaystyle t=\gamma (t'+vx'/c^{2}).}

Frentes de onda esféricas de luz O seguinte é semelhante ao de Einstein. Como na transformação galileana, a transformação de Lorentz é linear, pois a velocidade relativa dos referenciais é constante como um vetor; caso contrário, forças inerciais apareceriam. Eles são chamados de referenciais inerciais ou galileanos. De acordo com a relatividade, nenhum referencial galileano é privilegiado. Outra condição é que a velocidade da luz deve ser independente do referencial, na prática da velocidade da fonte de luz. Considere dois referenciais inerciais O e O′, assumindo que O está em repouso enquanto O′ está se movendo com uma velocidade v em relação a O na direção positiva do eixo x. As origens de O e O′ coincidem inicialmente. Um sinal de luz é emitido da origem comum e viaja como uma frente de onda esférica. Considere um ponto P em uma frente de onda esférica a uma distância r e r′ das origens de O e O′, respectivamente. De acordo com o segundo postulado da teoria da relatividade restrita, a velocidade da luz é a mesma em ambos os referenciais, então para o ponto P:

r

= c t

r ′

= c

t ′

.

{\displaystyle {\begin{aligned}r&=ct\\r'&=ct'.\end{aligned}}}

A equação de uma esfera no referencial O é dada por

x

2

+

y

2

+

z

2

=

r

2

.

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}

Para a frente de onda esférica, isso se torna

x

2

+

y

2

+

z

2

= ( c t

)

2

.

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=(ct)^{2}.}

Da mesma forma, a equação de uma esfera no referencial O′ é dada por

x

′

2

+

y

′

2

+

z

′

2

=

r

′

2

,

{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=r'^{2},}

então a frente de onda esférica satisfaz

x

′

2

+

y

′

2

+

z

′

2

= ( c

t ′

)

2

.

{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=(ct')^{2}.}

A origem O′ está se movendo ao longo do eixo x. Portanto,

y ′

= y

z ′

= z .

{\displaystyle {\begin{aligned}y'&=y\\z'&=z.\end{aligned}}}

x′ deve variar linearmente com x e t. Portanto, a transformação tem a forma

x ′

= γ x + σ t .

{\displaystyle x'=\gamma x+\sigma t.}

Para a origem de O′, x′ e x são dados por

x ′

= 0

x

= v t ,

{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=0\\x&=vt,\end{aligned}}}

então, para todo t,

0 = γ v t + σ t

{\displaystyle 0=\gamma vt+\sigma t}

e, portanto,

σ = − γ v .

{\displaystyle \sigma =-\gamma v.}

Isso simplifica a transformação para

x ′

= γ

(

x − v t

)

{\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}

onde γ deve ser determinado. Neste ponto, γ não é necessariamente uma constante, mas é necessário que se reduza a 1 para v ≪ c. A transformação inversa é a mesma, exceto que o sinal de v é invertido:

x = γ

(

x ′

+ v

t ′

)

.

{\displaystyle x=\gamma \left(x'+vt'\right).}

As duas equações acima dão a relação entre t e t′ como:

x = γ

[

γ

(

x − v t

)

+ v

t ′

]

{\displaystyle x=\gamma \left[\gamma \left(x-vt\right)+vt'\right]}

ou

t ′

= γ t +

(

1 −

γ

2

)

x

γ v

.

{\displaystyle t'=\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}.}

Substituindo x′, y′, z′ e t′ na equação da frente de onda esférica no referencial O′,

x

′

2

+

y

′

2

+

z

′

2

= ( c

t ′

)

2

,

{\displaystyle x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}=(ct')^{2},}

com suas expressões em termos de x, y, z e t, produz:

γ

2

(

x − v t

)

2

+

y

2

+

z

2

=

c

2

[

γ t +

(

1 −

γ

2

)

x

γ v

]

2

{\displaystyle {\gamma ^{2}}\left(x-vt\right)^{2}+y^{2}+z^{2}=c^{2}\left[\gamma t+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)x}{\gamma v}}\right]^{2}}

e, portanto,

γ

2

x

2

+

γ

2

v

2

t

2

− 2

γ

2

v t x +

y

2

+

z

2

=

c

2

γ

2

t

2

+

(

1 −

γ

2

)

2

c

2

x

2

γ

2

v

2

+ 2

(

1 −

γ

2

)

t x

c

2

v

{\displaystyle \gamma ^{2}x^{2}+\gamma ^{2}v^{2}t^{2}-2\gamma ^{2}vtx+y^{2}+z^{2}=c^{2}{\gamma ^{2}}t^{2}+{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}x^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}+2{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)txc^{2}}{v}}}

o que implica,

[

γ

2

−

(

1 −

γ

2

)

2

c

2

γ

2

v

2

]

x

2

− 2

γ

2

v t x +

y

2

+

z

2

=

(

c

2

γ

2

−

v

2

γ

2

)

t

2

+ 2

[

1 −

γ

2

]

t x

c

2

v

{\displaystyle \left[{\gamma ^{2}}-{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}\right]x^{2}-2{\gamma ^{2}}vtx+y^{2}+z^{2}=\left(c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}\right)t^{2}+2{\frac {\left[1-{\gamma ^{2}}\right]txc^{2}}{v}}}

ou

[

γ

2

−

(

1 −

γ

2

)

2

c

2

γ

2

v

2

]

x

2

−

[

2

γ

2

v + 2

(

1 −

γ

2

)

c

2

v

]

t x +

y

2

+

z

2

=

[

c

2

γ

2

−

v

2

γ

2

]

t

2

{\displaystyle \left[{\gamma ^{2}}-{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)^{2}c^{2}}{{\gamma ^{2}}v^{2}}}\right]x^{2}-\left[2{\gamma ^{2}}v+2{\frac {\left(1-{\gamma ^{2}}\right)c^{2}}{v}}\right]tx+y^{2}+z^{2}=\left[c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}\right]t^{2}}

Comparando o coeficiente de t2 na equação acima com o coeficiente de t2 na equação da frente de onda esférica para o referencial O, produz:

c

2

γ

2

−

v

2

γ

2

=

c

2

{\displaystyle c^{2}{\gamma ^{2}}-v^{2}{\gamma ^{2}}=c^{2}}

Expressões equivalentes para γ podem ser obtidas igualando os coeficientes de x2 ou igualando o coeficiente de tx a zero. Reorganizando:

γ

2

=

1

1 −

v

2

c

2

{\displaystyle {\gamma ^{2}}={\frac {1}{1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

ou, escolhendo a raiz positiva para garantir que os eixos x e x' e os eixos temporais apontem na mesma direção,

γ

=

1

1 −

v

2

c

2

{\displaystyle {\gamma }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}

que é chamado de fator de Lorentz. Isso produz a transformação de Lorentz a partir da expressão acima. É dado por

x ′

= γ

(

x − v t

)

t ′

= γ

(

t −

v x

c

2

)

y ′

= y

z ′

= z

{\displaystyle {\begin{aligned}x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}}

A transformação de Lorentz não é a única transformação que deixa invariante a forma das ondas esféricas, pois existe um conjunto mais amplo de transformações de ondas esféricas no contexto da geometria conforme, deixando invariante a expressão

λ

(

δ

x

2

+ δ

y

2

+ δ

z

2

−

c

2

δ

t

2

)

{\displaystyle \lambda \left(\delta x^{2}+\delta y^{2}+\delta z^{2}-c^{2}\delta t^{2}\right)}

. No entanto, transformações conformes que alteram a escala não podem ser usadas para descrever simetricamente todas as leis da natureza, incluindo a mecânica, enquanto as transformações de Lorentz (as únicas que implicam

λ = 1

{\displaystyle \lambda =1}

) representam uma simetria de todas as leis da natureza e se reduzem às transformações galileanas para

v ≪ c

{\displaystyle v\ll c}

.

Relatividade galileana e de Einstein

Referenciais galileanos Na cinemática clássica, o deslocamento total x no referencial R é a soma do deslocamento relativo x′ no referencial R′ e da distância entre as duas origens x − x′. Se v é a velocidade relativa de R′ em relação a R, a transformação é: x = x′ + vt, ou x′ = x − vt. Esta relação é linear para um v constante, ou seja, quando R e R′ são referenciais galileanos. Na relatividade de Einstein, a principal diferença da relatividade galileana é que as coordenadas de espaço e tempo estão interligadas, e em diferentes referenciais inerciais t ≠ t′. Como se assume que o espaço é homogêneo, a transformação deve ser linear. A relação linear mais geral é obtida com quatro coeficientes constantes, A, B, γ e b:

x ′

= γ x + b t

{\displaystyle x'=\gamma x+bt}

t ′

= A x + B t .

{\displaystyle t'=Ax+Bt.}

A transformação linear torna-se a transformação galileana quando γ = B = 1, b = −v e A = 0. Um objeto em repouso no referencial R′ na posição x′ = 0 move-se com velocidade constante v no referencial R. Portanto, a transformação deve produzir x′ = 0 se x = vt. Assim, b = −γv e a primeira equação é escrita como

x ′

= γ

(

x − v t

)

.

{\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right).}

Usando o princípio da relatividade De acordo com o princípio da relatividade, não há referencial galileano privilegiado: portanto, a transformação inversa para a posição do referencial R′ para o referencial R deve ter a mesma forma que a original, mas com a velocidade na direção oposta, ou seja, substituindo v por -v:

x = γ

(

x ′

− ( − v )

t ′

)

,

{\displaystyle x=\gamma \left(x'-(-v)t'\right),}

e, portanto,

x = γ

(

x ′

+ v

t ′

)

.

{\displaystyle x=\gamma \left(x'+vt'\right).}

Determinando as constantes da primeira equação Como a velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais, para o caso de um sinal de luz, a transformação deve garantir que t = x/c quando t′ = x′/c. Substituindo t e t′ nas equações anteriores, obtém-se:

x ′

= γ

(

1 − v

/

c

)

x ,

{\displaystyle x'=\gamma \left(1-v/c\right)x,}

x = γ

(

1 + v

/

c

)

x ′

.

{\displaystyle x=\gamma \left(1+v/c\right)x'.}

Multiplicando essas duas equações, obtém-se,

x

x ′

=

γ

2

(

1 −

v

2

/

c

2

)

x

x ′

.

{\displaystyle xx'=\gamma ^{2}\left(1-v^{2}/c^{2}\right)xx'.}

Em qualquer tempo após t = t′ = 0, xx′ não é zero, então dividindo ambos os lados da equação por xx′, resulta em

γ =

1

1 −

v

2

c

2

,

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}

que é chamado de "fator de Lorentz". Quando as equações de transformação são necessárias para satisfazer as equações do sinal de luz na forma x = ct e x′ = ct′, substituindo os valores de x e x', a mesma técnica produz a mesma expressão para o fator de Lorentz.

Determinando as constantes da segunda equação A equação de transformação para o tempo pode ser facilmente obtida considerando o caso especial de um sinal de luz, novamente satisfazendo x = ct e x′ = ct′, substituindo termo a termo na equação obtida anteriormente para a coordenada espacial

x ′

= γ ( x − v t ) ,

{\displaystyle x'=\gamma (x-vt),\,}

dando

c

t ′

= γ

(

c t −

v c

x

)

,

{\displaystyle ct'=\gamma \left(ct-{\frac {v}{c}}x\right),}

de modo que

t ′

= γ

(

t −

v

c

2

x

)

,

{\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right),}

que, quando identificada com

t ′

= A x + B t ,

{\displaystyle t'=Ax+Bt,\,}

determina os coeficientes de transformação A e B como

A = − γ v

/

c

2

,

{\displaystyle A=-\gamma v/c^{2},\,}

B = γ .

{\displaystyle B=\gamma .\,}

Assim, A e B são os únicos coeficientes constantes necessários para preservar a constância da velocidade da luz no sistema de coordenadas primado.

Derivação popular de Einstein Em seu livro popular, Einstein derivou a transformação de Lorentz argumentando que deve haver duas constantes de acoplamento não nulas λ e μ tais que

{

x ′

− c

t ′

= λ

(

x − c t

)

x ′

+ c

t ′

= μ

(

x + c t

)

{\displaystyle {\begin{cases}x'-ct'=\lambda \left(x-ct\right)\\x'+ct'=\mu \left(x+ct\right)\,\end{cases}}}

que correspondem à luz viajando ao longo dos eixos x positivo e negativo, respectivamente. Para luz x = ct se e somente se x′ = ct′. Adicionando e subtraindo as duas equações e definindo

{

γ =

(

λ + μ

)

/

2

b =

(

λ − μ

)

/

2 ,

{\displaystyle {\begin{cases}\gamma =\left(\lambda +\mu \right)/2\\b=\left(\lambda -\mu \right)/2,\,\end{cases}}}

dá

{

x ′

= γ x − b c t

c

t ′

= γ c t − b x .

{\displaystyle {\begin{cases}x'=\gamma x-bct\\ct'=\gamma ct-bx.\,\end{cases}}}

Substituindo x′ = 0 correspondendo a x = vt e notando que a velocidade relativa é v = bc/γ, isso dá

{

x ′

= γ

(

x − v t

)

t ′

= γ

(

t −

v

c

2

x

)

{\displaystyle {\begin{cases}x'=\gamma \left(x-vt\right)\\t'=\gamma \left(t-{\frac {v}{c^{2}}}x\right)\,\end{cases}}}

A constante γ pode ser avaliada exigindo c2t2 − x2 = c2t′2 − x′2 conforme a configuração padrão.

Usando teoria dos grupos

A partir de postulados de grupo O seguinte é uma derivação clássica (veja, e.g., [1] e referências nele) baseada em postulados de grupo e isotropia do espaço.

Transformações de coordenadas como um grupo As transformações de coordenadas entre referenciais inerciais formam um grupo (chamado de grupo de Lorentz próprio) com a operação de grupo sendo a composição de transformações (realizar uma transformação após a outra). De fato, os quatro axiomas de grupo são satisfeitos:

Fecho: a composição de duas transformações é uma transformação: considere uma composição de transformações do referencial inercial K para o referencial inercial K′, (denotado como K → K′), e então de K′ para o referencial inercial K′′, [K′ → K′′], existe uma transformação, [K → K′] [K′ → K′′], diretamente de um referencial inercial K para o referencial inercial K′′. Associatividade: as transformações ( [K → K′] [K′ → K′′] ) [K′′ → K′′′] e [K → K′] ( [K′ → K′′] [K′′ → K′′′] ) são idênticas. Elemento identidade: há um elemento identidade, uma transformação K → K. Elemento inverso: para qualquer transformação K → K′, existe uma transformação inversa K′ → K. Matrizes de transformação consistentes com os axiomas de grupo Considere dois referenciais inerciais, K e K′, o último movendo-se com velocidade v em relação ao primeiro. Por rotações e deslocamentos, podemos escolher os eixos x e x′ ao longo do vetor velocidade relativa e também que os eventos (t, x) = (0,0) e (t′, x′) = (0,0) coincidem. Como o boost de velocidade é ao longo dos eixos x (e x′), nada acontece com as coordenadas perpendiculares e podemos simplesmente omiti-las por brevidade. Agora, como a transformação que procuramos conecta dois referenciais inerciais, ela deve transformar um movimento linear em (t, x) em um movimento linear em coordenadas (t′, x′). Portanto, deve ser uma transformação linear. A forma geral de uma transformação linear é

[

t ′

x ′

]

=

[

γ

δ

β

α

]

[

t

x

]

,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\delta \\\beta &\alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}},}

onde α, β, γ e δ são algumas funções ainda desconhecidas da velocidade relativa v. Consideremos agora o movimento da origem do referencial K′. No referencial K′, ela tem coordenadas (t′, x′ = 0), enquanto no referencial K ela tem coordenadas (t, x = vt). Esses dois pontos estão conectados pela transformação

[

t ′

0

]

=

[

γ

δ

β

α

]

[

t

v t

]

,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\delta \\\beta &\alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\vt\end{bmatrix}},}

do qual obtemos

β = − v α

.

{\displaystyle \beta =-v\alpha \,.}

Analogamente, considerando o movimento da origem do referencial K, obtemos

[

t ′

− v

t ′

]

=

[

γ

δ

β

α

]

[

t

0

]

,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\-vt'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\delta \\\beta &\alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\0\end{bmatrix}},}

do qual obtemos

β = − v γ

.

{\displaystyle \beta =-v\gamma \,.}

Combinando esses dois, obtém-se α = γ e a matriz de transformação simplificou,

[

t ′

x ′

]

=

[

γ

δ

− v γ

γ

]

[

t

x

]

.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &\delta \\-v\gamma &\gamma \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}.}

Agora considere o postulado de grupo elemento inverso. Há duas maneiras de ir do sistema de coordenadas K′ para o sistema de coordenadas K. A primeira é aplicar o inverso da matriz de transformação às coordenadas K′:

[

t

x

]

=

1

γ

2

+ v δ γ

[

γ

− δ

v γ

γ

]

[

t ′

x ′

]

.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}={\frac {1}{\gamma ^{2}+v\delta \gamma }}{\begin{bmatrix}\gamma &-\delta \\v\gamma &\gamma \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}.}

A segunda é considerar que, como o sistema de coordenadas K′ está se movendo a uma velocidade v em relação ao sistema de coordenadas K, o sistema de coordenadas K deve estar se movendo a uma velocidade −v em relação ao sistema de coordenadas K′. Substituindo v por −v na matriz de transformação, obtém-se:

[

t

x

]

=

[

γ ( − v )

δ ( − v )

v γ ( − v )

γ ( − v )

]

[

t ′

x ′

]

,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma (-v)&\delta (-v)\\v\gamma (-v)&\gamma (-v)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}},}

Agora, a função γ não pode depender da direção de v porque é aparentemente o fator que define a contração relativística e a dilatação do tempo. Estes (em nosso mundo isotrópico) não podem depender da direção de v. Assim, γ(−v) = γ(v) e comparando as duas matrizes, obtemos

γ

2

+ v δ γ = 1.

{\displaystyle \gamma ^{2}+v\delta \gamma =1.}

De acordo com o postulado de grupo fecho, a composição de duas transformações de coordenadas também é uma transformação de coordenadas, portanto o produto de duas de nossas matrizes também deve ser uma matriz da mesma forma. Transformando K para K′ e de K′ para K′′, obtém-se a seguinte matriz de transformação para ir de K para K′′:

[

t ′′

x ′′

]

=

[

γ (

v ′

)

δ (

v ′

)

−

v ′

γ (

v ′

)

γ (

v ′

)

]

[

γ ( v )

δ ( v )

− v γ ( v )

γ ( v )

]

[

t

x

]

=

[

γ (

v ′

) γ ( v ) − v δ (

v ′

) γ ( v )

γ (

v ′

) δ ( v ) + δ (

v ′

) γ ( v )

− (

v ′

+ v ) γ (

v ′

) γ ( v )

−

v ′

γ (

v ′

) δ ( v ) + γ (

v ′

) γ ( v )

]

[

t

x

]

.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}t''\\x''\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}\gamma (v')&\delta (v')\\-v'\gamma (v')&\gamma (v')\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\gamma (v)&\delta (v)\\-v\gamma (v)&\gamma (v)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}\gamma (v')\gamma (v)-v\delta (v')\gamma (v)&\gamma (v')\delta (v)+\delta (v')\gamma (v)\\-(v'+v)\gamma (v')\gamma (v)&-v'\gamma (v')\delta (v)+\gamma (v')\gamma (v)\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}

Na matriz de transformação original, os elementos da diagonal principal são ambos iguais a γ, portanto, para a matriz de transformação combinada acima ser da mesma forma que a matriz de transformação original, os elementos da diagonal principal também devem ser iguais. Igualando esses elementos e reorganizando, obtém-se:

γ (

v ′

) γ ( v ) − v δ (

v ′

) γ ( v )

= −

v ′

γ (

v ′

) δ ( v ) + γ (

v ′

) γ ( v )

v δ (

v ′

) γ ( v )

=

v ′

γ (

v ′

) δ ( v )

δ ( v )

v γ ( v )

=

δ (

v ′

)

v ′

γ (

v ′

)

.

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma (v')\gamma (v)-v\delta (v')\gamma (v)&=-v'\gamma (v')\delta (v)+\gamma (v')\gamma (v)\\v\delta (v')\gamma (v)&=v'\gamma (v')\delta (v)\\{\frac {\delta (v)}{v\gamma (v)}}&={\frac {\delta (v')}{v'\gamma (v')}}.\end{aligned}}}

O denominador será diferente de zero para v diferente de zero, porque γ(v) é sempre diferente de zero;

γ

2

+ v δ γ = 1.

{\displaystyle \gamma ^{2}+v\delta \gamma =1.}

Se v = 0 temos a matriz identidade, que coincide com colocar v = 0 na matriz que obtemos no final desta derivação para os outros valores de v, tornando a matriz final válida para todos os v não negativos. Para v diferente de zero, esta combinação de função deve ser uma constante universal, a mesma para todos os referenciais inerciais. Defina esta constante como δ(v)/v γ(v) = κ, onde κ tem a dimensão de 1/v2. Resolvendo

1 =

γ

2

+ v δ γ =

γ

2

( 1 + κ

v

2

)

{\displaystyle 1=\gamma ^{2}+v\delta \gamma =\gamma ^{2}(1+\kappa v^{2})}

finalmente obtemos

γ = 1

/

1 + κ

v

2

{\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}

e, portanto, a matriz de transformação, consistente com os axiomas de grupo, é dada por

[

t ′

x ′

]

=

1

1 + κ

v

2

[

1

κ v

− v

1

]

[

t

x

]

.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1+\kappa v^{2}}}}{\begin{bmatrix}1&\kappa v\\-v&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}.}

Se κ > 0, então haveria transformações (com κv2 ≫ 1) que transformam tempo em uma coordenada espacial e vice-versa. Excluímos isso com base física, porque o tempo só pode correr na direção positiva. Assim, dois tipos de matrizes de transformação são consistentes com os postulados de grupo:

Transformações galileanas Se κ = 0, obtemos a cinemática galileana-newtoniana com a transformação galileana,

[

t ′

x ′

]

=

[

1

0

− v

1

]

[

t

x

]

,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-v&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}\;,}

onde o tempo é absoluto, t′ = t, e a velocidade relativa v de dois referenciais inerciais não é limitada.

Transformações de Lorentz Se κ < 0, então definimos

c = 1

/

− κ

{\displaystyle c=1/{\sqrt {-\kappa }}}

que se torna a velocidade invariante, a velocidade da luz no vácuo. Isso produz κ = −1/c2 e, portanto, obtemos a relatividade restrita com a transformação de Lorentz

[

t ′

x ′

]

=

1

1 −

v

2

c

2

[

1

− v

c

2

− v

1

]

[

t

x

]

,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}t'\\x'\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {1-{v^{2} \over c^{2}}}}}{\begin{bmatrix}1&{-v \over c^{2}}\\-v&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t\\x\end{bmatrix}}\;,}

onde a velocidade da luz é uma constante universal finita que determina a maior velocidade relativa possível entre referenciais inerciais. Se v ≪ c, a transformação galileana é uma boa aproximação da transformação de Lorentz. Apenas o experimento pode responder à pergunta de qual das duas possibilidades, κ = 0 ou κ < 0, é realizada em nosso mundo. Os experimentos que medem a velocidade da luz, primeiro realizados pelo físico dinamarquês Ole Rømer, mostram que ela é finita, e o experimento de Michelson-Morley mostrou que é uma velocidade absoluta e, portanto, que κ < 0.

Boost a partir de geradores Usando a rapidez φ para parametrizar a transformação de Lorentz, o boost na direção x é

[

c

t ′

x ′

y ′

z ′

]

=

[

cosh ⁡ φ

− sinh ⁡ φ

0

0

− sinh ⁡ φ

cosh ⁡ φ

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

]

[

c

t

x

y

z

]

,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi &0&0\\-\sinh \phi &\cosh \phi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}},}

da mesma forma para um boost na direção y

[

c

t ′

x ′

y ′

z ′

]

=

[

cosh ⁡ φ

0

− sinh ⁡ φ

0

0

1

0

0

− sinh ⁡ φ

0

cosh ⁡ φ

0

0

0

0

1

]

[

c

t

x

y

z

]

,

{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \phi &0&-\sinh \phi &0\\0&1&0&0\\-\sinh \phi &0&\cosh \phi &0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}},}

e na direção z

[

c

t ′

x ′

y ′

z ′

]

=

[

cosh ⁡ φ

0

0

− sinh ⁡ φ

0

1

0

0

0

0

1

0

− sinh ⁡ φ

0

0

cosh ⁡ φ

]

[

c

t

x

y

z

]

.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \phi &0&0&-\sinh \phi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-\sinh \phi &0&0&\cosh \phi \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,.}

onde ex, ey, ez são os vetores da base cartesiana, um conjunto de vetores unitários mutuamente perpendiculares ao longo de suas direções indicadas. Se um referencial é impulsionado com velocidade v em relação a outro, é conveniente introduzir um vetor unitário n = v/v = β/β na direção do movimento relativo. O boost geral é

[

c

t ′

x ′

y ′

z ′

]

=

[

cosh ⁡ φ

−

n

x

sinh ⁡ φ

−

n

y

sinh ⁡ φ

−

n

z

sinh ⁡ φ

−

n

x

sinh ⁡ φ

1 + ( cosh ⁡ φ − 1 )

n

x

2

( cosh ⁡ φ − 1 )

n

x

n

y

( cosh ⁡ φ − 1 )

n

x

n

z

−

n

y

sinh ⁡ φ

( cosh ⁡ φ − 1 )

n

y

n

x

1 + ( cosh ⁡ φ − 1 )

n

y

2

( cosh ⁡ φ − 1 )

n

y

n

z

−

n

z

sinh ⁡ φ

( cosh ⁡ φ − 1 )

n

z

n

x

( cosh ⁡ φ − 1 )

n

z

n

y

1 + ( cosh ⁡ φ − 1 )

n

z

2

]

[

c

t

x

y

z

]

.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cosh \phi &-n_{x}\sinh \phi &-n_{y}\sinh \phi &-n_{z}\sinh \phi \\-n_{x}\sinh \phi &1+(\cosh \phi -1)n_{x}^{2}&(\cosh \phi -1)n_{x}n_{y}&(\cosh \phi -1)n_{x}n_{z}\\-n_{y}\sinh \phi &(\cosh \phi -1)n_{y}n_{x}&1+(\cosh \phi -1)n_{y}^{2}&(\cosh \phi -1)n_{y}n_{z}\\-n_{z}\sinh \phi &(\cosh \phi -1)n_{z}n_{x}&(\cosh \phi -1)n_{z}n_{y}&1+(\cosh \phi -1)n_{z}^{2}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}\,.}

Observe que a matriz depende da direção do movimento relativo, bem como da rapidez, em todos os três números (dois para direção, um para rapidez). Podemos expressar cada uma das matrizes de boost em outra forma como segue. Primeiro considere o boost na direção x. A expansão de Taylor da matriz de boost em torno de φ = 0 é

B (

e

x

, φ ) =

∑

n = 0

∞

φ

n

n !

∂

n

B (

e

x

, φ )

∂

φ

n

|

φ = 0

{\displaystyle B(\mathbf {e} _{x},\phi )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\phi ^{n}}{n!}}\left.{\frac {\partial ^{n}B(\mathbf {e} _{x},\phi )}{\partial \phi ^{n}}}\right|_{\phi =0}}

onde as derivadas da matriz em relação a φ são obtidas diferenciando cada entrada da matriz separadamente, e a notação |φ = 0 indica que φ é definido como zero após as derivadas serem avaliadas. Expandindo até primeira ordem, obtém-se a transformação infinitesimal

B (

e

x

, φ ) = I + φ

∂ B

∂ φ

|

φ = 0

=

[

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

]

− φ

[

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

]

{\displaystyle B(\mathbf {e} _{x},\phi )=I+\phi \left.{\frac {\partial B}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}-\phi {\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}

que é válida se φ for pequeno (portanto, φ2 e potências superiores são desprezíveis) e pode ser interpretada como nenhum boost (o primeiro termo I é a matriz identidade 4×4), seguido por um pequeno boost. A matriz

K

x

=

[

0

1

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

]

{\displaystyle K_{x}={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}}

é o gerador do boost na direção x, então o boost infinitesimal é

B (

e

x

, φ ) = I − φ

K

x

{\displaystyle B(\mathbf {e} _{x},\phi )=I-\phi K_{x}}

Agora, φ é pequeno, então dividir por um inteiro positivo N dá um incremento ainda menor de rapidez φ/N, e N desses boosts infinitesimais darão o boost infinitesimal original com rapidez φ,

B (

e

x

, φ ) =

(

I −

φ

K

x

N

)

N

{\displaystyle B(\mathbf {e} _{x},\phi )=\left(I-{\frac {\phi K_{x}}{N}}\right)^{N}}

No limite de um número infinito de passos infinitamente pequenos, obtemos a transformação de boost finita

B (

e

x

, φ ) =

lim

N → ∞

(

I −

φ

K

x

N

)

N

=

e

− φ

K

x

{\displaystyle B(\mathbf {e} _{x},\phi )=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {\phi K_{x}}{N}}\right)^{N}=e^{-\phi K_{x}}}

que é a definição de limite da exponencial devida a Leonhard Euler, e agora é verdadeira para qualquer φ. Repetindo o processo para os boosts nas direções y e z, obtêm-se os outros geradores

K

y

=

[

0

0

1

0

0

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

]

,

K

z

=

[

0

0

0

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

0

0

]

{\displaystyle K_{y}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad K_{z}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}

e os boosts são

B (

e

y

, φ ) =

e

− φ

K

y

,

B (

e

z

, φ ) =

e

− φ

K

z

.

{\displaystyle B(\mathbf {e} _{y},\phi )=e^{-\phi K_{y}}\,,\quad B(\mathbf {e} _{z},\phi )=e^{-\phi K_{z}}\,.}

Para qualquer direção, a transformação infinitesimal é (φ pequeno e expansão até primeira ordem)

B (

n

, φ ) = I + φ

∂ B

∂ φ

|

φ = 0

=

[

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

]

− φ

[

0

n

x

n

y

n

z

n

x

0

0

0

n

y

0

0

0

n

z

0

0

0

]

{\displaystyle B(\mathbf {n} ,\phi )=I+\phi \left.{\frac {\partial B}{\partial \phi }}\right|_{\phi =0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}-\phi {\begin{bmatrix}0&n_{x}&n_{y}&n_{z}\\n_{x}&0&0&0\\n_{y}&0&0&0\\n_{z}&0&0&0\end{bmatrix}}}

onde

[

0

n

x

n

y

n

z

n

x

0

0

0

n

y

0

0

0

n

z

0

0

0

]

=

n

x

K

x

+

n

y

K

y

+

n

z

K

z

=

n

⋅

K

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&n_{x}&n_{y}&n_{z}\\n_{x}&0&0&0\\n_{y}&0&0&0\\n_{z}&0&0&0\end{bmatrix}}=n_{x}K_{x}+n_{y}K_{y}+n_{z}K_{z}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} }

é o gerador do boost na direção n. É o gerador de boost completo, um vetor de matrizes K = (Kx, Ky, Kz), projetado na direção do boost n. O boost infinitesimal é

B (

n

, φ ) = I − φ (

n

⋅

K

)

{\displaystyle B(\mathbf {n} ,\phi )=I-\phi (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )}

Então, no limite de um número infinito de passos infinitamente pequenos, obtemos a transformação de boost finita

B (

n

, φ ) =

lim

N → ∞

(

I −

φ (

n

⋅

K

)

N

)

N

=

e

− φ (

n

⋅

K

)

{\displaystyle B(\mathbf {n} ,\phi )=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {\phi (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )}{N}}\right)^{N}=e^{-\phi (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )}}

que agora é verdadeira para qualquer φ. Expandindo a exponencial de matriz de −φ(n ⋅ K) em sua série de potências

e

− φ

n

⋅

K

=

∑

n = 0

∞

1

n !

( − φ

n

⋅

K

)

n

{\displaystyle e^{-\phi \mathbf {n} \cdot \mathbf {K} }=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}(-\phi \mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{n}}

precisamos agora das potências do gerador. O quadrado é

(

n

⋅

K

)

2

=

[

1

0

0

0

0

n

x

2

n

x

n

y

n

x

n

z

0

n

y

n

x

n

y

2

n

y

n

z

0

n

z

n

x

n

z

n

y

n

z

2

]

{\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&n_{x}^{2}&n_{x}n_{y}&n_{x}n_{z}\\0&n_{y}n_{x}&n_{y}^{2}&n_{y}n_{z}\\0&n_{z}n_{x}&n_{z}n_{y}&n_{z}^{2}\end{bmatrix}}}

mas o cubo (n ⋅ K)3 retorna a (n ⋅ K), e como sempre, a potência zero é a identidade 4×4, (n ⋅ K)0 = I. Em geral, as potências ímpares n = 1, 3, 5, ... são

(

n

⋅

K

)

n

= (

n

⋅

K

)

{\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{n}=(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )}

enquanto as potências pares n = 2, 4, 6, ... são

(

n

⋅

K

)

n

= (

n

⋅

K

)

2

{\displaystyle (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{n}=(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}}

portanto, a forma explícita da matriz de boost depende apenas do gerador e de seu quadrado. Dividindo a série de potências em uma série de potências ímpares e uma série de potências pares, usando as potências ímpares e pares do gerador e as séries de Taylor de sinh φ e cosh φ em torno de φ = 0, obtém-se uma forma mais compacta, mas detalhada, da matriz de boost

e

− φ

n

⋅

K

= −

∑

n = 1 , 3 , 5 ...

∞

1

n !

φ

n

(

n

⋅

K

)

n

+

∑

n = 0 , 2 , 4 ...

∞

1

n !

φ

n

(

n

⋅

K

)

n

= −

[

φ +

φ

3

3 !

+

φ

5

5 !

+ ⋯

]

(

n

⋅

K

) + I +

[

− 1 + 1 +

1

2 !

φ

2

+

1

4 !

φ

4

+

1

6 !

φ

6

+ ⋯

]

(

n

⋅

K

)

2

= − sinh ⁡ φ (

n

⋅

K

) + I + ( − 1 + cosh ⁡ φ ) (

n

⋅

K

)

2

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{-\phi \mathbf {n} \cdot \mathbf {K} }&=-\sum _{n=1,3,5\ldots }^{\infty }{\frac {1}{n!}}\phi ^{n}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{n}+\sum _{n=0,2,4\ldots }^{\infty }{\frac {1}{n!}}\phi ^{n}(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{n}\\&=-\left[\phi +{\frac {\phi ^{3}}{3!}}+{\frac {\phi ^{5}}{5!}}+\cdots \right](\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+I+\left[-1+1+{\frac {1}{2!}}\phi ^{2}+{\frac {1}{4!}}\phi ^{4}+{\frac {1}{6!}}\phi ^{6}+\cdots \right](\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}\\&=-\sinh \phi (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+I+(-1+\cosh \phi )(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}\end{aligned}}}

onde 0 = −1 + 1 é introduzido para a série de potências pares completar a série de Taylor para cosh φ. O boost é semelhante à fórmula de rotação de Rodrigues,

B (

n

, φ ) =

e

− φ

n

⋅

K

= I − sinh ⁡ φ (

n

⋅

K

) + ( cosh ⁡ φ − 1 ) (

n

⋅

K

)

2

.

{\displaystyle B(\mathbf {n} ,\phi )=e^{-\phi \mathbf {n} \cdot \mathbf {K} }=I-\sinh \phi (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \phi -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}\,.}

Negando a rapidez na exponencial, obtém-se a matriz de transformação inversa,

B (

n

, − φ ) =

e

φ

n

⋅

K

= I + sinh ⁡ φ (

n

⋅

K

) + ( cosh ⁡ φ − 1 ) (

n

⋅

K

)

2

.

{\displaystyle B(\mathbf {n} ,-\phi )=e^{\phi \mathbf {n} \cdot \mathbf {K} }=I+\sinh \phi (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \phi -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}\,.}

Em mecânica quântica, mecânica quântica relativística e teoria quântica de campos, uma convenção diferente é usada para os geradores de boost; todos os geradores de boost são multiplicados por um fator da unidade imaginária i = √−1.

A partir de experimentos

Howard Percy Robertson e outros mostraram que a transformação de Lorentz também pode ser derivada empiricamente. Para isso, é necessário escrever transformações de coordenadas que incluam parâmetros testáveis experimentalmente. Por exemplo, seja dado um único referencial inercial "preferido"

X , Y , Z , T

{\displaystyle X,Y,Z,T}

no qual a velocidade da luz é constante, isotrópica e independente da velocidade da fonte. Assume-se também que a sincronização de Einstein e a sincronização por transporte lento de relógios são equivalentes neste referencial. Em seguida, assume-se outro referencial

x , y , z , t

{\displaystyle x,y,z,t}

em movimento relativo, no qual relógios e hastes têm a mesma constituição interna que no referencial preferido. As seguintes relações, no entanto, são deixadas indefinidas:

a ( v )

{\displaystyle a(v)}

diferenças nas medições de tempo,

b ( v )

{\displaystyle b(v)}

diferenças nos comprimentos longitudinais medidos,

d ( v )

{\displaystyle d(v)}

diferenças nos comprimentos transversais medidos,

ε ( v )

{\displaystyle \varepsilon (v)}

depende do procedimento de sincronização do relógio no referencial em movimento, então as fórmulas de transformação (assumidas como lineares) entre esses referenciais são dadas por:

t

= a ( v ) T + ε ( v ) x

x

= b ( v ) ( X − v T )

y

= d ( v ) Y

z

= d ( v ) Z

{\displaystyle {\begin{aligned}t&=a(v)T+\varepsilon (v)x\\x&=b(v)(X-vT)\\y&=d(v)Y\\z&=d(v)Z\end{aligned}}}

ε ( v )

{\displaystyle \varepsilon (v)}

depende da convenção de sincronização e não é determinado experimentalmente; obtém o valor

− v

/

c

2

{\displaystyle -v/c^{2}}

usando a sincronização de Einstein em ambos os referenciais. A razão entre

b ( v )

{\displaystyle b(v)}

e

d ( v )

{\displaystyle d(v)}

é determinada pelo experimento de Michelson-Morley, a razão entre

a ( v )

{\displaystyle a(v)}

e

b ( v )

{\displaystyle b(v)}

é determinada pelo experimento de Kennedy-Thorndike, e

a ( v )

{\displaystyle a(v)}

sozinho é determinado pelo experimento de Ives-Stilwell. Dessa forma, eles foram determinados com grande precisão como

1

/

a ( v ) = b ( v ) = γ

{\displaystyle 1/a(v)=b(v)=\gamma }

e

d ( v ) = 1

{\displaystyle d(v)=1}

, o que converte a transformação acima na transformação de Lorentz.

Ver também

Referências

Bibliografia Greiner, W.; Bromley, D. A. (2000). Relativistic Quantum Mechanics 3a ed. [S.l.]: springer. ISBN 9783540674573. Cópia arquivada em 10 de junho de 2023 Landau, L.D.; Lifshitz, E.M. (2002). The Classical Theory of Fields. Col: Course of Theoretical Physics. 2 4a ed. [S.l.]: Butterworth–Heinemann. ISBN 0-7506-2768-9 Citação: